Définitions

Espaces vectoriels
Vecteurs
Formes linéaires
Applications linéaires
Opérateurs
Matrices
Valeurs propres
Vecteurs propres
Produit scalaire Hermitien

Preuves à connaître

START
Exo-Démo+
Démontrer que les valeurs propres d'un opérateur hermitique \(A=A^{\dagger}\) sont réelles
Soit \(\ket u\) tel que \(A\ket u =\lambda \vec u\)
1i: Définition du ket propre
2: \(\langle{u|A|u}\rangle =\lambda\langle{u|u}\rangle \)
2i: On utilise les propriétés du produit scalaire
3: \(\langle{u|A|u}\rangle =\langle{u|A^{\dagger}|u}\rangle \implies \lambda\langle{u|u}\rangle =\lambda^*\langle{u|u}\rangle \)
4:Donc \(\lambda=\lambda^*\)
END

START
Exo-Démo+
Prouver que les vecteurs propres d'un opérateur hermitique \(A\) sont orthonormé
\(A\ket{\lambda_1}=\lambda_1\ket{\lambda_1}\)
\(A\ket{\lambda_2}=\\ lambda_2\ket{\lambda_2}\)
1i: On définie
2: voir photo
END